1. Analitik Düzlem
Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu
sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi
veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.
Dik koordinat sistemi
Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis
ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.
Analitik düzlemde her noktaya bir
(x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın
koordinatları denir. |
|
P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de
ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların
eksenleri kestiği noktalardır.
Orijinin koordinatları O(0,0) dır.
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a,
o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b)
noktası gibi.
- Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört
bölgeye ayırırlar.
I. Bölge: x > 0
y > 0
II. Bölge: x < 0
y
> 0
III. Bölge: x < 0
y < 0
IV. Bölge: x > 0
y < 0
|
|
2. İki nokta arasındaki uzaklık
a. Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar
arasındaki uzaklık.
- Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki
uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir.
A(a, c) ve
B(a, b) noktaları için
|AB| = |c – b|
|
|
- Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki
uzaklık, bu iki noktanın apsisleri
farkının mutlak değeridir.
A(b, a) ve
B(c, a) noktaları için
|AB| = |c – b|
|
|
b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar
arasındaki uzaklık
Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları
arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.
A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri
belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.
AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar
uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki
noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.
Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;
eşitliği ile bulunabilir.
Burada x1
ile x2 nin ve
y1 ile y2
nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.
- İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de
yararlanılabilir.
İki noktanın ordinatları farkı dik
üçgenin bir kenarı, apsisleri
farkı ise diğer dik kenarıdır.
Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası
uzaklığı verir.
|
|
c. Bir noktanın orijine
uzaklığı
P(a,b) noktasının orijine uzaklığı
|
|
3.Orta Nokta Koordinatları
Yukarıdaki şekilde A(x1,
y1) noktası
ile B(x2, y2)
noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0,
y0) noktası
ise
- Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde
(kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin
koordinatları toplamları eşittir.
ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta
noktası, [BD] nin de orta noktasıdır.
Buradan;
x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4
|
|
4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları
Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile
apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik
oluşur.
A(x1,y1)
, B(x2,y2)
ve C(x3,y3)
noktaları için,
Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki
eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.
m uzunluğunda (x2
– x1) kadar
değişirse
n uzunluğunda (x3
– x2) kadar
değişir.
Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan
noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler
ordinatlar için de geçerlidir.
m uzunluğunda (y2
– y1) kadar
değişirse
n uzunluğunda (y3
– y2) kadar
değişir.
5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
ABC üçgeninin köşe koordinatları
A(x1,y1),
B(x2,y2),
C(x3,y3)
ve ağırlık merkezi G(xG,yG)
ise ağırlık merkezi
koordinatları:
|
|
Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri
kullanılarak elde edilebilir.
6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin
Alanı
Köşe koordinatları A(x1,y1),
B(x2,y2)
ve C(x3,y3)
olan ABC üçgeni veriliyor.
Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için
yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta
ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan
değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif
kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)
Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı,
üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.
- Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri
yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur.
Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
- Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe
koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu
gösterir.