- DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ
Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan
cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara
dik prizma adı verilir.
Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal
ayrıt denir.
[AA'], [BB'], [CC'], [DD']
yanal ayrıtlardır.
Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine
eşittir.
Cismin yüksekliğine h dersek
h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.
|
|
Prizmanın Hacmi
Hacim=Taban Alanı x Yükseklik |
Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal
yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı
tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.
Yanal Alan = Taban çevresi x
Yükseklik |
Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile
yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının
toplamıdır.
Tüm Alan = Yanal Alan + 2.
Taban Alanı |
1. Dikdörtgenler Prizması
Dikdörtgenler prizması yan
yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden
oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik
olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey
alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında
birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim
köşegeni denir. |
|
Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer.
Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey
köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları
|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda
Cisim Köşegeni: e =Öa2
+ b2
+ c2 |
Yüzey Köşegeni: f =
Öa2
+ b2 |
2. Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir.
Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.
Yanal Alan = 4 . a . h
Cisim köşegeni : e = Öa2
+ a2
+ h2
3. Küp
Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp
denir. Tüm yüzeyleri kare dir.
Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
Yüzey köşegeni: f = aÖ2
Cisim köşegeni: e = aÖ3
4. Üçgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından
tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre
isimlenir.
a. Eşkenar Üçgen Prizma
Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan
yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Taban alanı |
|
Hacim |
|
Taban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.
Buradan tüm alanı
Tüm alan |
|
b. Dik Üçgen Prizma
Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri
ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
Tabanı dik üçgen olduğundan
Taban alanı = |
|
Hacim |
|
Taban çevresi a + b + c olduğundan,
Yanal alan = (a + b + c) . h
Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h
5. Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir.
Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik
kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
Taban alanı= pr2
Taban çevresi 2pr
olduğundan yanal alan 2prh
olur.
Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında
döndürüldüğünde silindir elde edilir.
|
|
6. Düzgün Çokgen Prizmalar
Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün
çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda
olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.
- Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun,
hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi
ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.
EĞİK PRİZMALAR
1. Eğik Kare Prizma
Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne
doğru taban düzlemi ile a
açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
Prizmanın yüksekliği h =l .sin
a olur.
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde
oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen,
diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban
kenarı a kadar, diğeri ise,
Buradan;
Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x
Sin a |
Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin
a |
Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
Yanal alan= Dik kesit çevresi x
Yanal Ayrıt |
bağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave
edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik
prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik |
Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de
hacim bulunabilir.
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal
Ayrıt |
2. Eğik Silindir
|AA'| = |BB'| = l
Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı
yapan eğik silindirde yükseklik,
Dik Kesit Alanı=Taban
Alanı x Sin a |
|
|
Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile
yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de
de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt
- DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ
Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan
cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara
dik prizma adı verilir.
Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal
ayrıt denir.
[AA'], [BB'], [CC'], [DD']
yanal ayrıtlardır.
Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine
eşittir.
Cismin yüksekliğine h dersek
h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.
|
|
Prizmanın Hacmi
Hacim=Taban Alanı x Yükseklik |
Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal
yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı
tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.
Yanal Alan = Taban çevresi x
Yükseklik |
Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile
yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının
toplamıdır.
Tüm Alan = Yanal Alan + 2.
Taban Alanı |
1. Dikdörtgenler Prizması
Dikdörtgenler prizması yan
yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden
oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik
olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey
alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında
birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim
köşegeni denir. |
|
Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer.
Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey
köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları
|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda
Cisim Köşegeni: e =Öa2
+ b2
+ c2 |
Yüzey Köşegeni: f =
Öa2
+ b2 |
2. Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir.
Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.
Yanal Alan = 4 . a . h
Cisim köşegeni : e = Öa2
+ a2
+ h2
3. Küp
Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp
denir. Tüm yüzeyleri kare dir.
Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
Yüzey köşegeni: f = aÖ2
Cisim köşegeni: e = aÖ3
4. Üçgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından
tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre
isimlenir.
a. Eşkenar Üçgen Prizma
Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan
yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Taban alanı |
|
Hacim |
|
Taban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.
Buradan tüm alanı
Tüm alan |
|
b. Dik Üçgen Prizma
Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri
ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
Tabanı dik üçgen olduğundan
Taban alanı = |
|
Hacim |
|
Taban çevresi a + b + c olduğundan,
Yanal alan = (a + b + c) . h
Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h
5. Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir.
Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik
kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
Taban alanı= pr2
Taban çevresi 2pr
olduğundan yanal alan 2prh
olur.
Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında
döndürüldüğünde silindir elde edilir.
|
|
6. Düzgün Çokgen Prizmalar
Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün
çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda
olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.
- Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun,
hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi
ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.
EĞİK PRİZMALAR
1. Eğik Kare Prizma
Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne
doğru taban düzlemi ile a
açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
Prizmanın yüksekliği h =l .sin
a olur.
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde
oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen,
diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban
kenarı a kadar, diğeri ise,
Buradan;
Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x
Sin a |
Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin
a |
Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
Yanal alan= Dik kesit çevresi x
Yanal Ayrıt |
bağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave
edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik
prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik |
Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de
hacim bulunabilir.
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal
Ayrıt |
2. Eğik Silindir
|AA'| = |BB'| = l
Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı
yapan eğik silindirde yükseklik,
Dik Kesit Alanı=Taban
Alanı x Sin a |
|
|
Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile
yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de
de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt