Geometride nokta, doğru, düzlem ve uzay gibi bazı
kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. Kalemin veya sivri bir şeyin ucunun
bıraktığı ize nokta diyebiliriz. Cetvelin kenarı ile bir doğru çizebiliriz.
Sınıfın duvarı, pencere camı birer düzlemdir. Odanın içerisi, herhangi bir
cismin kapladığı yer birer uzay belirtirler.
Nokta : « . » Biçiminde ifade edilir ve
genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur.
« . » nokta, « . A” A noktası
Doğru : iki ucuna ok işareti koyulmuş düz bir
çizgi ile gösterilir. Doğru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile
gösterilir.
|
d »d doğrusu |
veya AB doğrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktaları
doğrunun birer elemanıdır.
A Îd
ve B Î d
biçiminde yazılır.
- Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.
- Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir.
|
Doğru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur.
Düzlem: Uzunluğuna ve genişliğine doğru sonsuza
uzayıp giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde
paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarın köşesine harfle ismi
yazılabilir.
şekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir.
Burada A, B ve C noktaları E
düzlemi üzerindedir. Dolayısıyla B ve C noktalarından geçen d doğrusu da
E düzlemi üzerindedir. |
|
A Î
E
B Î
E
C Î
E
d Î
E
- Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta
bir düzlem belirtir.
- Bir doğru ile, bu doğru üzerinde olmayan
bir nokta, bir düzlem belirtir.
- Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlem
üzerinde ise bu doğru (doğrunun bütün noktaları) bu düzlem
üzerindedir.
|
1. Düzlemle Doğrunun Durumları
Bir doğru düzlemin ya üzerinde, ya
dışındadır veya düzlemi bir noktada keser.
d1
Ç
a = d1
d2
Ç a
= Ø
d Ç
b = {K}
K noktası kesişen bir doğru ile bir
düzlemin arakesitidir.
2. Düzlemde İki Doğrunun Birbirine Göre
Durumları
-
Paralel farklı iki doğru bir
tek düzlem belirtir.
-
Her paralel farklı iki doğrudan
bir tek düzlem geçer.
-
Kesişen farklı iki doğru bir
tek düzlem belirtir. Her kesişen farklı iki doğrudan bir tek düzlem
geçer.
-
Bir düzlemde farklı iki doğru
ya paraleldir, ya da bir noktada kesişirler.
|
d1
Ç d2
= Ø
l1
Ç l2
= {A}
Üst üste çizilen çakışık doğrular bir tek
doğru kabul edilir.
3. Düzlemde Üç Doğrunun Birbirlerine
Göre Durumları
Üç doğru paralel olabilir.
d1
// d2 // d3
d1
Ç d2Çd3
= Ø
Düzlemde paralel olan iki doğrudan birine
paralel olan doğru diğerine de paraleldir.
d1
// d2 ve d2
// d3 ise d1
// d3 olur.
Yalnız ikisi paralel ise, üçüncü doğru
paralel doğruları birer noktada keser.
l1
// l2
l1Ç
l3 = {A}
l2
Ç l3
= {B}
-
Düzlemde paralel iki doğrudan birini
kesen bir doğru, diğerini de keser.
-
Düzlemde paralel iki doğrudan birini
dik kesen bir doğru diğerini de dik keser.
Üç doğru bir noktada kesişebilir.
k1
Ç k2
Çk3
= {P}
Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.
t1
Ç t2
= {A}
t1 Ç
t3 = {B}
t2 Ç
t3 = {C}
t1 Ç
t2 Çt3 = Ø
4.Düzlemde Nokta İle Doğrunun
Durumları
d2 doğrusu A'dan geçer ve d1
e diktir
d3
doğrusu B'den geçer ve d1 e diktir.
l2
doğrusu A'dan geçer ve l1 ile paraleldir.
5. Doğruların Düzlemde Ayırdığı Bölge
Sayısı
Genel olarak, n adet doğru bir düzlemi en
az (n + 1) bölgeye (paralellik hali), en
fazla
|
|
bölgeye ayırır.
|
Cisimlerin kapladığı yer ve içinde
bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik
söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik
kavramı vardır. (Derinlikte denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda
x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3
ile sembolize edilir.
Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları
belirtilmiştir.
1. Uzay Belirtme Aksiyomları
E düzlemindeki A, B, C noktaları ile
düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.
E düzlemi ile bu düzlemin dışındaki P
noktası uzay belirtir.
d doğrusu F düzleminde olmadığından, F
düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.
-
Uzayda farklı iki düzlem ya
paraleldir ya da kesişirler.
-
Paralel olmayan farklı iki
düzlem daima kesişir.
-
Farklı iki düzlem daima uzay
belirtir.
-
Kesişen iki düzlemin ortak
noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.
|
Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E
ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E
Ç F = d dir.