2. Uzayda Doğruların Durumları
Uzayda iki doğru için üç durum söz konusudur.
-
İki doğru uzayda paralel olabilir.
-
İki doğru uzayda kesişebilir.
-
İki doğru uzayda aykırı olabilir.
|
E düzlemi üzerindeki d2
doğrusu ile E düzlemini kesen d1
doğrusunun ortak noktası yoktur.
d1
ve d2 doğruları
paralel değil ve kesişmiyorlar ise bu doğrulara aykırı doğrular denir.
|
|
Aykırı doğrular düzlem belirtmez |
-
Uzayda üç doğru paralel olabilir.
-
Uzayda paralel doğrulardan birine paralel
olan bir doğru diğerlerine de paraleldir.
-
Uzayda paralel üç doğru aynı düzlemin
elemanı olmak zorunda değildir.
|
d1
// d2
Þ d1
Ç d3 = {A}
d2
Ç d3
= Ø olur.
k1
// k2
Þ k1
^ k3
ve k2 ^
k3
olur.
3. Uzayda Düzlemlerin
Durumları
-
Bir doğru paralel düzlemlerden birini
keserse diğerlerini de keser.
-
Bir doğru paralel düzlemlerden birini
dik keserse diğerlerini de dik keser.
-
Bir doğruya dik olan farklı düzlemler
paraleldirler.
-
Paralel iki düzlemden birine paralel
olan düzlem diğerine de paraleldir.
|
-
Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan
geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
-
Bir düzleme, dışındaki bir noktadan geçen
ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir.
-
Paralel düzlemler kendilerini kesen doğruları
aynı oranda bölerler.
-
Bir düzleme, dışındaki bir noktadan sonsuz
tane paralel doğru çizilir. Bu doğrular bir düzlem oluştururlar.0
|
paralel düzlemlerinde
-
Bir düzlem paralel düzlemlerden birini
keserse, diğerini de keser.
-
Bir düzlem paralel düzlemlerden birine
dik ise diğerine de diktir.
|
-
Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin
arakesit doğruları paraleldir.
-
Bir düzlemin, dışındaki bir noktadan
geçen ve bu düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.
|
a //
b Þ
AB // CD
L düzlemi dışındaki M noktasından geçen ve
L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardır.
-
Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan
geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir.
-
Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen
ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir.
-
Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.
|
a düzlemi dışındaki
P noktasından geçen ve a düzlemine dik olan b
ve g düzlemleri gibi çok
sayıda düzlem olabilir.
a düzlemi üzerindeki
K noktasından geçen ve a
düzlemine dik olan sonsuz sayıda düzlem vardır.
a,
b, g
düzlemleri bir doğru boyunca kesişirse
a
Ç
b
Ç
g = d olur.
-
n tane düzlem uzayı en az n + 1 bölgeye ayırır.
-
Üç düzlem uzayı en az dört, en çok sekiz
bölgeye ayırır.
Düzlemlerin uzayı en az bölgeye ayırdığı durum,
paralel oldukları durumdur. Üç düzlemin uzayı sekiz bölgeye ayırdığı durumu görmek
için bir elmayı üç bıçak darbesi ile nasıl sekize bölebileceğimizi düşünelim.
1. Temel Diklik Teoremi
Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna,
kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir. |
|
|
d1
Î a , d2
Î a , l
Ç d1
Ç d2
Ç a = {A} veriliyor.
l ^
d1 ve l
^ d2
ise l ^ a olur.
2. Üç Dikme Teoremi
Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan,
bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse, iki dikme ayağını
birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir. |
d Î
a , [AB]
^ d ve
[AC] ^
a ise l ^ d olur.
d doğrusuna dik [AB] nin dik izdüşümünün
üzerinde olduğu l doğrusu d doğrusuna diktir.
|
|
3. Dik kesişen Düzlemler
Dik kesişen iki düzlemin biri üzerinde
bulunan ve kesişim doğrusuna dik olan her doğru diğer düzlemin üzerindeki doğrulara
dik durumlu olur. |
a
^
b,
a
Ç
b = d
d1,
d2, d3Î
a ve l
Î
b veriliyor.
l ^
d ise l doğrusu
d1,
d2 ve d3
doğrularına da dik durumlu olur.
l ile d1 , l ile d2
, l ile d3
... dik durumludur.
|
|
4. Geometrik Yer
Düzlemde iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların
kümesi, orta dikme doğrusunu oluşturur.
Uzayda ise iki noktaya eşit uzaklıktaki
noktaların kümesi orta dikme düzlemini oluşturur.
|
Her iki şekilde de, |AO| = |OB| , [AB] ^ [OK]
ve |AK| = |BK| olur. K noktası birinci şekilde doğru üzerinde herhangi bir nokta,
ikinci şekilde ise a düzlemi üzerinde herhangi bir noktadır.
1. Doğru Parçasının İzdüşümü
[AB] nin, a açısı yaptığı d doğrusu üzerine
dik izdüşümü [A'B'] olur.
2. Düzlem Üzerindeki İzdüşüm
E düzlemi ile a
açısı yapan ABCD dörtgeninin E düzlemi üzerindeki dik izdüşümü A'B'C'D' dörtgenidir.
- Paralel doğruların dik izdüşümleri yine paraleldir.
|
[AB] // [DC] Þ [A'B']
// [D'C']
[AD] // [BC] Þ [A'D']
// [B'C']
|AB| = |DC| Þ |A'B'|
= |D'C'|
|AD| = |BC| Þ |A'D'|
= |B'C'|
Bir düzlemle arasındaki açı
a olan bir dörtgenin dik izdüşümünün
alanı,
A(A'B'C'D')=A(ABCD). cos
a |
Bu durum bütün yüzey şekilleri için geçerlidir.
şeklin alanı S, izdüşüm alanı S' dersek