1. Çokgen
Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal
olmayan A1, A2, A3, … gibi n tane (n
³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren
doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgen denir.
a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin
bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir.
b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının
hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir.dışbükey çokgen
c. Çokgenlerin elemanları
- A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir.
Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları
çokgenin kenarlarıdır.
|
|
- İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin
iç açıları denir.
- İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış
açıları denir.
- Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına
köşegen adı verilir.
2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri
a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane
kenarı var ise iç açılarının toplamı
Üçgen için (3 – 2) . 180° = 180°
Dörtgen için (4 – 2) . 180° = 360°
Beşgen için (5 – 2) . 180° = 540°
b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,
c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin
Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.
- n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden
köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir.
3. Düzgün Çokgenler
Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının
ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.
a. şekildeki düzgün altıgende olduğu
gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel
çember denir. |
|
b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren
köşegenler birbirine eşittir.
|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||
|
c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı
kenarlar paraleldir.
[AF] // [CD], [AB] // [ED]....[AH] // [DE], [AB] //
[FE]...
|
d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı
kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru
parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir.
e. n kenarlı düzgün bir çokgende
f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan
düzgün çokgenin bir dış açısı
4. Düzgün Çokgenin Alanı
a. n kenarlı düzgün çokgenin bir
kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı
|
|
b.n kenarlı bir düzgün çokgende
bir kenarı gören merkez açı
|
(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) ve
çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı |
|
|
- Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur.
Bir kenarına a dersek
|
|
- DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ
1. Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının
oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
|
|
2. Bir dörtgende karşı iki açının
açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri farkının
mutlak değerinin yarısına eşittir.
|
|
3. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının
ölçüsü
bilinen dörtgenin alanı;
ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları ile
a
biliniyor
|
|
- Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde
- (sin 90° = 1 olduğundan)
|
|
- Köşegen doğruları birbirine dik ise
|
|
4. Köşegenleri ve köşegenlerinin
arasındaki açısının ölçüsü bilinen içbükey dörtgenin alanı;
[AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları arasındaki
a biliniyor ise ABCD içbükey dörtgeninin alanı;
|
|
5. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin
kenarları arasındaki bağıntı; ABCD dörtgeninde
[AC] ^
[BD] |
|
Köşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının
kareleri toplamı eşittir.
- Köşegenleri dik içbükey dörtgenlerde de karşılıklı
kenarların kareleri toplamı eşittir.
ABCD dörtgeninde
|
|
6. Dörtgenlerde köşegenlerin ayırdığı
alanlar; ABE ve ADE üçgenlerinin yükseklikleri eşit
olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir. |
|
7. Dörtgenlerde kenarların orta
noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde kenarların
orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır. Paralelkenarın
alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir.
[KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| =
[LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =
|
|
- Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların orta
noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir.
[AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları ise
KLMN dikdörtgendir.