- ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
1. Açıortay
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara
açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC
ışınına açıortay denir.
|
|
Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına
çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
|
|
2. İç Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC
üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit
olduğundan
|
olur .....(1) |
|
|
ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde
[AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
|
olur .....(2) |
|
|
[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek;
(1) ve (2) den
|
olur |
ABC üçgeninde [AN]
açıortay olmak şartıyla
Buradan |
|
ve b.y=c.x eşitlikleri
de elde edilir. |
|
|
3. İç Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden
çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA
dersek
|
|
4. Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış
açıortaydır.
|
|
5. Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A
dersek
|
|
6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90°
|
|
ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki
açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
- Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet
çemberin merkezidir.
P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden
indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.
|
|
- ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI
1. Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların
kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
|
|
a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye
2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
|
|
b. Bir üçgende iki kenarortayın
kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir. |
|
c.
ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve
|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.
|
|
d. ABC üçgeninde
[AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|
olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
|
|
e. ABC
üçgeninde
|AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
|
|
2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün
yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse
ait kenarortay
|
|
3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar
a.Kenarortaylar üçgenin
alanını altı eşit parçaya bölerler.
|
|
b.G ağırlık merkezi
köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. |
|
c. G ağırlık merkezi
kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya
bölünür. |
|
4.ABC üçgeninde
kenarortaylar ve [FE] çizilirse
|AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
|
|
K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
a. ABC üçgeninde
kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde
şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
|
|
b.Kenarların orta noktalarını birbirine
birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür. |
|
5. Kenarortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va
dersek
Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
|
|
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
6. Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olan bir dik
üçgende kenarortaylar arasında
|
|