A. TANIM
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.
A Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.
İşlemler;
gibi simgelerle gösterilir.
|
B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.
1. Kapalılık Özeliği
" (Her) a, b Î A için a
p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi
p işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özeliği
" (Her) a, b Î A için, a
p b = b p a ise,
p işleminin değişme özeliği vardır.
3. Birleşme Özeliği
" (Her) a, b, c Î A için a
p (b p c) = (a
p b) p c ise,
p işleminin birleşme özeliği vardır.
4. Birim
(Etkisiz) Eleman Özeliği
" (Her) x Î A için, x
p e = e p x = x ise, e ye
p işleminin etkisiz elemanı denir.
e Î A ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.
5. Ters Eleman Özeliği
p işleminin etkisiz elemanı e olsun.
a Î A için, a p b = b
p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına
p işlemine göre a nın tersi denir.
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.
A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın elemanı ise,
p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.
•
Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
•
Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.
|
6. Dağılma Özeliği
" a, b, c Î A için,
a « (b p c) = (a
« b)
p (a « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.
(a p b) « c = (a « c)
p (b « c) ise,
« işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.
« işleminin p işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa
« işleminin p işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
|
7. Yutan Eleman Özeliği
" x Î A için, x
p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye
p işleminin yutan elemanı denir.
y Î A ise, p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.
Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.
|
C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde
işlemi
yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.
Ü |
b
c nin sonucu
bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b
c nin sonucudur. Buna göre, b
c = a dır.
|
Ü |
Başlangıç
satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü
kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi işlemine göre kapalıdır. |
Ü |
Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise,
işleminin değişme özeliği vardır. |
Ü |
Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlanan
işleminin etkisiz elemanı d dir. |
Ü |
Yutan
eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur.
Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve
sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır. |
|
Yandaki tablo, A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlanan
işlemine göre düzenlenmiştir.
Buna göre,
işleminin yutan elemanı 1 dir.
işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.
|
|
D. MATEMATİK SİSTEMLER
1. Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
(A, «) ikilisine matematik sistem denir.
2. Grup
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.
-
A, « işlemine göre kapalıdır.
-
A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.
-
A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.
-
A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur.
|
3. Halka
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı
D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A,
D, «) sistemi bir halkadır.
-
(A, D) sistemi değişmeli gruptur.
-
A kümesi « işlemine göre kapalıdır.
-
« işleminin
D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.
Ü |
« işleminin değişme özelliği de varsa (A,
D, «) sistemi değişmeli halkadır.
|
Ü |
« işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A,
D, «) sistemine birim halka denir. |