A. SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek
bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir.
a ¹ b ise, (a, b)
¹ (b, a) dır.
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.
|
B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A
kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün
sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A ´ B ile gösterilir.
A ´ B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.
A ¹ B ise, A
´ B ¹ B
´ A dır.
|
C. KARTEZYEN ÇARPIMIN
ÖZELİKLERİ
-
1) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A
´ B) = s(B ´ A) = m
× n dir.
-
A
´ (B ´ C) = (A
´ B) ´ C
-
A
´ (B È C) = (A
´ B)
È (A ´ C)
-
(B
È C) ´ A = (B
´ A) È (C
´ A)
-
A
´ (B Ç C) = (A
´ B)
Ç (A ´ C)
-
(B
Ç C) ´ A = (B
´ A) Ç (C
´ A)
-
A
´ Æ = Æ
´ A = Æ
-
D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A ´ B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle
b ile gösterilir.
b Ì A
´ B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A
´ B} dir.
Ü |
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2m×n tane bağıntı tanımlanabilir.
|
Ü |
A ´ A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir. |
Ü |
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m
× n) bağıntı sayısı
|
Ü |
b Ì A
´ B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y)
Î A ´ B} bağıntısının tersi
b–1
Ì B ´ A dır.
Buna göre, b bağıntısının tersi
b–1 = {(y, x) : (x, y)
Î b} dır.
|
E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î
b ise, b yansıyandır.
"x Î A için, (x, x)
Î b ise,
b yansıyandır. (" : Her)
2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x)
Î b ise,
b simetriktir.
"(x, y) Î
b için (y, x)
Î b ise,
b simetriktir.
Ü |
b bağıntısı simetrik ise b = b–1 dir.
|
Ü |
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı
dir. |
Ü |
s(A) = n olmak üzere, A
kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı
dir. |
3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken
"(x, y) Î
b için (y, x)
Ï
b ise,
b ters simetriktir.
b bağıntısında (x, x)
elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.
|
4. Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
"[(x, y) Î
b ve (y, z)
Î
b] için (x, z)
Î
b ise,
b bağıntısının geçişme özeliği vardır.
Boş kümeden farklı bir A kümesinde tanımlanan
b = Æ bağıntısında yansıma özeliği yoktur. Simetri, Ters simetri, geçişme özeliği vardır.
|
F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.
Ü |
b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. (x, y)
Î
b ise x ve y elemanları
b bağıntısına göre denktir denir ve x
º y şeklinde yazılır.
|
Ü |
b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. A da x elemanına denk olan bütün elemanların kümesine x in denklik sınıfı denir ve
şeklinde gösterilir. x in denklik sınıfının kümesi,
|
2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı
b bağıntısında; Yansıma, Ters
simetri, Geçişme özeliği varsa
b sıralama bağıntısıdır.
Bir bağıntı hem denklik, hem de sıralama bağıntısı olabilir. |